О распознавании групп по множеству размеров классов сопряженности

Для конечной группы $G$ обозначим через $N(G)$ множество размеров её классов сопряженности, а через $G^n$ — ее декартову $n$-ю степень. Недавно был сформулирован следующий вопрос ("Коуровская тетрадь", вопрос 20.29): если $S$ — неабелева простая группа, верно ли, что для любого $n\in\mathbb{N}$ и любой конечной группы $G$ с тривиальным центром из равенства $N(G)=N(S^n)$ следует изоморфизм $G\simeq S^n$? Для $n=1$ ответ на этот вопрос утвердителен для всех неабелевых простых групп $S$ (это известная гипотеза Дж. Томпсона 1987 года, доказанная полностью в 2019 году). В докладе будет представлен обзор результатов для $n>1$, в частности, будут рассмотрены случаи: $n=2$ и $S\in\{A_5, A_6\}$; $n=3$ и $S=A_5$.
Работа выполнена при поддержке Математического Центра в Академгородке, соглашение с Министерством науки и высшего образования Российской Федерации №075-15-2022-281.