Об универсальных ассоциативных конформных обёртывающих для квадратичных конформных алгебр

Алгебры Новикова возникли как помощник в построении некоторых гамильтоновых операторов в вариационном исчислении. Формально, это алгебры с одной операцией — умножением Новикова — которая является левосимметрической и правокоммутативной. Алгебра Гельфанда–Дорфман это векторное пространство с двумя билинейными операциями $[\cdot, \cdot]$ и $(\cdot \circ \cdot)$, относительно которых мы получаем алгебры Ли и Новикова соответственно, а также удовлетворяющими дополнительному тождеству согласования. Если алгебра Гельфанда–Дорфман естественным образом вкладывается в алгебру Пуассона с дифференцированием, то она называется специальной.
Конформная алгебра — это модуль $C$ над алгеброй полиномов $H = \Bbbk[\partial]$, снабжённый операцией умножения $C \otimes C \to C[\lambda]$ (т.е. результат умножения – это полином от формальной переменной $\lambda$ со значениями в $C$) и набором аксиом. Подобно “обычным” алгебрам, конформные алгебры разбиваются на многообразия (ассоциативные, Ли и т. д.). Например, конформные алгебры Ли оказываются очень полезны как инструмент по изучению структуры и представлений вертексных алгебр.
Алгебры Гельфанда–Дорфман находятся во взаимно-однозначном соответствии с квадратичными конформными алгебрами Ли, весьма широким классом, содержащим в себе большинство классических примеров: конформная алгебра Гейзенберга, Вирасоро, Навье–Шварца и т.д.
Для обычных алгебр Ли хорошо известна и очень полезна конструкция универсальной ассоциативной обёртывающей. Способ превращения ассоциативной алгебры в алгебру Ли работает и в конформном случае. Однако, в отличие от классического результата, не всякая конформная алгебра Ли инъективно вкладывается в ассоциативную. Это обусловлено “многозначностью” умножения, а именно, требованием локальности. Тем не менее, если квадратичная конформная алгебра Ли построена по специальной алгебре Гельфанда–Дорфман, то удаётся привести явную конструкцию для построения универсальной ассоциативной конформной обёртывающей алгебры с локальностью не выше 3.