Свойства корней многочленов над алгебрами Кэли–Диксона

Алгебрами Кэли–Диксона над произвольным полем $F$ называется семейство $2^n$-мерных алгебр, естественным образом обобщающих алгебры комплексных чисел, кватернионов и октонионов. Алгебры Кэли–Диксона, вообще говоря, некоммутативны и неассоциативны, а при $n\ge4$ перестают быть даже альтернативными. Наиболее изученными среди них являются вещественные алгебры главной последовательности, для которых F — поле вещественных чисел, а все параметры процедуры Кэли–Диксона подразумеваются равными $-1$.
Для каждого многочлена $f(x)$ над алгеброй Кэли–Диксона определён некоторый многочлен $C_f(x)$ над полем $F$, называемый сопровождающим. Целью данной работы является изучение связи между корнями $f(x)$, $f'(x)$ и $C_f(x)$ для произвольного многочлена $f(x)$ над алгеброй Кэли–Диксона. В докладе будут изложены следующие результаты:
1. В работе Чапмана было показано, что при $n\le3$ корни любого многочлена $f(x)$ являются также корнями $C_f(x)$. Установлено, что при $n\ge4$ это утверждение перестаёт быть верным в общем случае, однако продолжает выполняться для сферических корней многочлена $f(x)$.
2. Классическая теорема Гаусса–Лукаса утверждает, что для любого комплексного многочлена $f(x)$ степени не меньше 1 корни $f'(x)$ содержатся в выпуклой оболочке корней $f(x)$. Гилони и Перотти обобщили эту теорему на случай алгебры кватернионов, показав, что в этом случае корни $f'(x)$ содержатся в так называемой улитке Гаусса–Лукаса ${\rm sn}(f)$. Показано, что такая формулировка теоремы Гаусса–Лукаса остаётся верной и для произвольных вещественных алгебр главной последовательности.
Доклад основан на совместной статье с Соломоном Вишкауцаном, Александром Эмилевичем Гутерманом и Адамом Чапманом.