Короткие $SL_2$ структуры

Известна классическая конструкция Титса–Кантора–Кёхера, позволяющая по простой йордановой алгебре $J$ построить простую алгебру Ли $\mathfrak{g}$, имеющую вид:
\begin{equation*} \mathfrak{g} =\mathfrak{der}(J)\oplus\mathfrak{sl}_2(J). \end{equation*}
Теорема Титса–Кантора–Кёхера утверждает, что между простыми йордановыми алгебрами и простыми алгебрами Ли, удовлетворяющими описанной выше формуле, существует взаимно однозначное соответствие.
Конструкцию Титса–Кантора–Кёхера можно интерпретировать как линейное представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ автоморфизмами алгебры Ли $\mathfrak{g}$, которое разлагается на неприводимые представления размерностей 1 и 3. Естественным обобщением является следующее понятие. Пусть $S$ — редуктивная алгебраическая группа. $S$-структурой на алгебре Ли $\mathfrak{g}$ называется гомоморфизм $\Phi:S\rightarrow \operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$.
В докладе рассматриваются $SL_2$-структуры. $SL_2$-структуру назовем короткой, если представление $\Phi$ группы $SL_2$ разлагается на неприводимые представления размерностей 1, 2 и 3. При этом изотипное разложение представления $\Phi$ будет иметь вид:
$$ \mathfrak{g}= \mathfrak{g}_0 \oplus \bigl(\mathbb{C}^2\otimes J_1\bigr) \oplus \bigl(\mathfrak{sl}_2\otimes J_2\bigr). $$
Конструкция Титса–Кантора–Кёхера получается при $J_1=0$. Доклад будет посвящён случаю $J_1\neq 0$.
Аналогично теореме Титса–Кантора–Кехера, будет установлено взаимно однозначное соответствие между простыми алгебрам Ли с короткой $SL_2$-структурой с $J_1\neq 0$ и так называемыми простыми симплектическими тройками Ли–Йордана $\left(J_1; \mathfrak{g}_0; J_2\right)$, где $J_1$ — симплектическое пространство, $\mathfrak{g}_0$ — редуктивная подалгебра Ли в $\mathfrak{sp}(J_1)$, а $J_2$ — простая йорданова подалгебра симметрических операторов на $J_1$, причем на $J_1$ алгебры $J_2$ и $\mathfrak{g}_0$ не имеют нетривиальных общих инвариантных подпространств. Будет дана полная классификация коротких $SL_2$-структур на простых алгебрах Ли.
Короткие и очень короткие $SL_2$-структуры можно аналогичным образом задавать на произвольных $\mathfrak{g}$-модулях, используя соответствующее линейное представление алгебры ли $\mathfrak{g}$. Подобная конструкция имеет интересные приложения к теории представлений йордановых алгебр, о которых также будет рассказано в докладе.