Алгебры Роты–Бакстера и двойные алгебры Ли

В 2008 году М. Ван ден Берг в качестве некоммутативного аналога алгебры Пуассона ввёл понятие двойной алгебры Пуассона. По определению двойная алгебра Пуассона снабжена ассоциативным умножением и двойной скобкой Ли, которые связаны аналогом тождества Лейбница. Векторное пространство с заданной на нём двойной скобкой Ли называется двойной алгеброй Ли.
Известен факт (см., например, работу М. Гончарова и П. Колесникова, 2018), что двойные скобки Ли на конечномерном пространстве $V$ находятся во взаимно однозначном соответствии с кососимметричными операторами Роты–Бакстера веса 0 на алгебре $\mathrm{End}(V)$. Данное соответствие продолжено на бесконечномерный случай. Таким образом, получен первый пример простой двойной алгебры Ли.
В совместной работе с М. Е. Гончаровым введено понятие двойной алгебры Ли веса $\lambda$, которое при $\lambda = 0$ совпадает с уже известным понятием двойной алгебры Ли. Показано взаимно однозначное соответствие между двойными скобками Ли ненулевого веса $\lambda$ на пространстве $V$ и $\lambda$-кососимметричными операторами Роты–Бакстера веса $\lambda$ на алгебре $\mathrm{End}(V)$. Установлено, что, как и в случае нулевого веса, простых конечномерных двойных алгебр Ли не существует.
Доказано, что каждая двойная скобка Ли веса $\lambda$, заданная на векторном пространстве $V$, единственным образом продолжается до модифицированной двойной скобки Пуассона на свободной ассоциативной алгебре $\mathrm{As}(V)$. Этот результат, в частности, подтверждает гипотезу С. Артамонова (2017).