Универсальные (ко)действующие бимоноиды и моноиды Хопфа

Во многих разделах математики и физики находят своё применение (ко)модульные алгебры над алгебрами Хопфа. С одной стороны, такие алгебры являются обобщениями алгебр, градуированных группами и алгебр с действиями групп автоморфизмами. С другой стороны, (ко)модульные алгебры можно проинтерпретировать как алгебры функций на (возможно, некоммутативных) алгебраических многообразиях, на которых действуют квантовые группы симметрий. Для многих приложений (структурная теория, полиномиальные H-тождества, ...) оказывается несущественным, какая конкретно алгебра Хопфа (ко)действует на заданной алгебре. Здесь мы естественным образом приходим к понятию эквивалентности (ко)модульных структур, которое является обобщением хорошо известного понятия эквивалентности градуировок, причём можно доказать, что среди всех алгебр Хопфа, задающих эквивалентные структуры, существуют универсальные. Более того, данные построения можно сделать, используя язык заплетённых моноидальных категорий и моноидов Хопфа. (Моноидами Хопфа в категории векторных пространств являются алгебры Хопфа, а в категории множеств - группы.) В докладе будет рассказано о том, как можно объединить эти универсальные моноиды Хопфа и универсальные (ко)действующие биалгебры и алгебры Хопфа Свидлера–Манина–Тамбары в единую теорию, что, в частности, позволяет установить определённую двойственность между ними, а также о проблеме вычисления универсальных алгебр Хопфа, свойствах отношения эквивалентности и его приложениях к теории полиномиальных H-тождеств.