О характеризации конечной группы ее арифметическими параметрами

Симметрия — один из фундаментальных принципов самоорганизации материальных форм в природе. Множество всех симметрий некоторого объекта или множество тех его симметрий, которые сохраняют какие-то свойства этого объекта (например, ориентацию в пространстве), образует алгебраическую структуру, которая называется группой. Исследовав группу симметрий объекта, можно получить новую информацию уже о самом объекте. Однако при исследовании объекта (математического, физического, химического или какого-то другого) ситуация, когда группа его симметрий известна a priori, является редкой. Обычно из эмпирических соображений, из “видимых” свойств объекта удается извлечь только информацию о каких-то свойствах этой группы, например, некоторые ее арифметические параметры.
Примерами арифметических параметров конечной группы являются ее порядок, множество порядков всех ее элементов (которое принято называть спектром группы), множество величин всех классов сопряженности ее элементов, множество всех степеней неприводимых комплексных представлений этой группы и т.д. Появляется задача определить группу или описать хотя бы какие-то ее структурные свойства и особенности возможных действий на объектах, если известны только некоторые арифметические параметры этой группы. Получение результатов такого рода — это разработка математического аппарата, который в дальнейшем может быть применен и за пределами математики.
Одним из хорошо известных арифметических параметров конечной группы $G$ является ее граф Грюнберга–Кегеля, который называют еще графом простых чисел. Это неориентированный граф без петель и кратных ребер, вершинами которого являются все простые делители порядка группы $G$ и две вершины $p$ и $q$ смежны в котором тогда и только тогда, когда группа $G$ содержит элемент порядка $pq$. Граф Грюнберга–Кегеля конечной группы, с одной стороны, бывает “достаточно легко” вычислить, с другой стороны, в некоторых случаях он определяет группу однозначно с точностью до изоморфизма. Например, хорошо известная конечная простая спорадическая группа Монстр содержит порядка $8,08\times 10^{53}$ элементов (для сравнения, по недавним оценкам, количество элементарных частиц в наблюдаемой части Вселенной — примерно $3,28\times 10^{80}$), при этом граф Грюнберга–Кегеля группы Монстр содержит всего 15 вершин (причем наибольшая из них равна 71), и эта группа однозначно с точностью до изоморфизма определяется своим графом Грюнберга–Кегеля в классе конечных групп.
В этом докладе мы обсудим вопрос характеризации конечной группы ее арифметическими параметрами, в частности, вопрос характеризации конечной группы ее графом Грюнберга–Кегеля.