ПБВ фильтрация и базисы в представлениях простых алгебр Ли

Пусть $V$ – неприводимое представление простой алгебры Ли (например, $sl(m)$) со старшим весом, а $N$ – нильпотентная подалгебра Ли, состоящая из порождающих операторов (например, подалгебра нижнетреугольных матриц). Таким образом, пространство $V$ получается применением операторов из универсальной обёртывающей алгебры $U(N)$ к старшему вектору. Хорошо известно, что на $U(N)$ имеется так называемая ПБВ фильтрация, такая, что присоединённая градуированная алгебра есть кольцо полиномов. Мы рассмотрим индуцированную ПБВ фильтрацию на $V$. При этом пространство $gr(V)$ оказывается снабжённым действием алгебры многочленов. Мы опишем свойства этого действия. В качестве интересного приложения мы приведём конструкцию нового семейства базисов (определяемых с помощью явно заданных многогранников) в представлениях алгебр $sl(m)$ и $sp(2m)$.
Доклад будет частично основан на совместных работах с П. Литтелманном и Г. Фурье.