27-вершинные триангуляции 16-мерных многообразий, похожих на октавную проективную плоскость

В 1987 году Брем и Кюнель доказали следующую оценку: всякая комбинаторная триангуляция отличного от сферы $d$-мерного многообразия (без края) должна иметь не менее $\frac{3d}{2}+3$ вершин. Более того, наличие у многообразия, отличного от сферы, триангуляции ровно с $\frac{3d}{2}+3$ вершинами накладывает на это многообразие очень жесткие условия. Во-первых, размерность $d$ может быть равна только 2, 4, 8 или 16; во-вторых, многообразие должно быть «многообразием, похожим на проективную плоскость», то есть должно допускать (кусочно линейную) функцию Морса ровно с тремя критическими точками. До недавнего времени было известно ровно 5 примеров таких триангуляций в размерностях 2, 4 и 8. Случай $d=16$ оставался полностью открытым: не было известно никаких 27-вершинных триангуляций 16-мерных многообразий, отличных от сферы. Я расскажу о построении таких триангуляций. А именно, будет предъявлено четыре таких триангуляции с группой симметрий порядка 351 и на их основе построено очень много (более $10^{103}$) таких триангуляций с меньшими группами симметрий. Естественная гипотеза состоит в том, что все построенные симплициальные многообразия кусочно линейно гомеоморфны октавной проективной плоскости. Однако попытки доказательства этой гипотезы упираются в необходимость вычисления второго класса Понтрягина построенных симплициальных многообразий. В настоящее время не известно эффективного способа такого вычисления.