Среднее расстояние между случайными точками на границе выпуклой фигуры

Рассмотрим выпуклую фигуру $K$ на плоскости. Пусть $\theta(K)$ обозначает среднее расстояние между двумя случайными точками, независимо и равномерно выбранными на границе $K$. Основной результат работы состоит в том, что среди всех выпуклых фигур фиксированного периметра максимальное значение $\theta(K)$ достигается у круга и только у него.
Теорема 1. Для всех выпуклых тел $K\subset\mathbb R^2$ выполнено
$$ \frac{\theta(K) }{\mathrm{per}\, K}\leq\frac{\theta(\mathcal B^2) }{\mathrm{per}\,\mathcal B^2}=\frac{2}{\pi^2}, $$
где $\mathcal{B}^2$ обозначает единичный круг. Причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда $K$ является кругом.
Помимо этого, доказывается непрерывность функционала $\theta$, определенного на множестве выпуклых фигур, в метрике Хаусдорфа.
Теорема 2. Пусть $\{K_n\}_{n=1}^\infty$ — последовательность выпуклых тел, сходящихся в метрике Хаусдорфа к некоторому выпуклому телу $K$. Тогда
$$ \theta(K_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} \theta(K). $$