Аннотация:
Доклад основан на совместной работе с А.А. Федотовым.
Объектом исследований является логарифмическая сумма
\begin{equation*}S_N(\omega,\zeta)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}\ln\left( 1+e^{-2\pi i(\omega n+\frac{\omega}{2}+\zeta)}\right)\end{equation*}
с большим числом слагаемых $N$ и параметрами $\zeta\in\mathbb{C}$ и $\omega\in(0,1)$.
Такие суммы очевидным образом связаны с тригонометрическими произведениями
\begin{equation*}\Pi_N(\omega,\theta)=\prod\limits_{n=0}^{N-1}\cos{\pi\left( \omega n+\theta\right) },\quad N\in\mathbb{N}\end{equation*}
из теории почти периодических уравнений (см. [1], [2]). Кроме того, логарифмическая сумма может быть выражена в терминах специальной функции, являющейся мероморфным решением разностного уравнения первого порядка:
\begin{equation*}\sigma_h(z+h)=(1+e^{-iz})\cdot\sigma_h(z-h),\end{equation*}
где $z\in\mathbb{C}$ и $h=\pi\omega.$ Такая функция и родственные ей возникают во многих задачах математической физики: в теории дифракции [3], в теории почти периодических операторов [4], в теории интегрируемых задач [5], в теории спецфункций и т.д.
Оказывается, что изучение поведения логарифмической суммы при $N\to\infty$ эквивалентно изучению асимптотик $\sigma_{\pi\omega}(z)$ при $Re(z)\to\pm\infty$, что тоже не является хорошо исследованной задачей, как нам известно.
Для изучения логарифмических сумм с большим числом слагаемых мы используем метод, примененный в [6] для изучения Гауссовых экспоненциальных сумм: получаем перенормировочную формулу, которая выражает исходную логарифмическую сумму через сумму такого же вида, но с меньшим числом слагаемых и новыми параметрами $\omega_1$ и $\zeta_1$. В случае, когда $\omega\in(0,1)\backslash\mathbb{Q}$, этот процесс можно продолжать, пока логарифмическая сумма не исчезнет.
Задача сильно зависит от теоретико-числовых свойств параметра $\omega$. Основным результатом является описание при почти всех $\omega$ поведения логарифмической суммы при $\zeta\in\mathbb{C}_-$. Случай вещественных $\zeta$ - критический, исследование усложняется из-за полюсов и нулей $\sigma_h(\cdot)$ на $\mathbb{R}$.
[1] Jitomirskaya S., Yang F., Pure point spectrum for the Maryland model: a constructive proof.
Ergodic Theory Dynam. Systems, in press, 2020.
[2] Avila A., Jitomirskaya S., The ten Matriny problem., Ann. Math. 170 (2009):303-342.
[3] Babich V., Lyalinov M., Grikurov V. Diffraction theory: the Sommerfeld- Malyuzhinets technique., Oxford: Alpha Science, 2008.
[4] Buslaev V., Fedotov A. On the difference equations with periodic coefficients., Adv. Theor. Math. Phys, 5(2001),1105-1168.
[5] Faddeev L., Kashaev R., Volkov A. Strongly coupled quantum discrete Liouville theory., I Algebraic approach and duality. Commun. Math. Phys. 219(2001), 199-219.
[6] Fedotov, A. A. Klopp An exact renormalization formula for Gaussian exponenntial sums and applications, American Journal of Mathematics, 134: 711-748, 2012.
Обратная связь: