Отображения и особенности. Лекция 1

Качественное поведение функций одной переменной изучается в старших классах школы. Как известно, у всякой функции (общего положения) имеются отдельно расположенные критические точки (называемые также точками экстремума, то есть локального максимума или минимума), которые разделяют интервалы монотонности (возрастания или убывания) функции.
Помимо функций одной переменной, в математике, физике и других областях естествознания повсеместно встречаются функции многих переменных, и более общим образом, отображения многомерных пространств. Как и в случае функции одной переменной, наиболее содержательным и интересным является исследование поведения отображения в окрестности критических точек. Это исследование является предметом теории особенностей.
Примером отображения служит проекция поверхности окружающих нас тел на экран или на поверхность сечатки глаза. Критическими точками такого отображения является линия видимого контура.
Для отображения общего положения (а именно такие отображения наиболее важны с точки зрения приложений) его поведение в окрестности всякой точки описывается сравнительно небольшим списком «модельных» отображений. Например, для отображений поверхностей такими «модельными» отображениями служит так называемая «складка», точки которой образуют линию видимого контура, а также «сборка», которая реализуется в отдельных точках линии складки.
В своих лекциях я приведу подробное описание складок, сборок, и их многомерных аналогов, а также научу распознавать эти точки в конкретных отображениях. Для понимания лекций полезно знакомство с математическим анализом функций многих переменных (частные производные, формула Тейлора, теоремы об обратной и неявных функциях). Однако напрямую ссылки на эти результаты я постараюсь, по возможности, избегать, так что большая часть лекций должна быть понятна школьникам.