Об эллиптическом операторе, вырождающемся на границе области

Система уравнений мелкой воды играет важную роль в теории распространения и набега на пологий берег длинных волн в океане. В линеаризованном приближении при отсутствии вихревых движений её можно свести к записанному в дивергентной форме волновому уравнению для возвышения свободной поверхности. Если рассматривать случай конечного бассейна — ограниченной области, на границе которой глубина обращается в нуль, — то уравнение нужно решать в этой области, а на её границе имеет место вырождение. При дополнительных условиях, для построения квазиклассических асимптотических решений такого уравнения была разработана модификация канонического оператора Маслова, которая недавно была значительно упрощена с использованием симплектической редукции. В докладе будет описана указанная упрощенная конструкция. Важную роль в рассматриваемой задаче играют определение и свойства пространственной части волнового оператора. При вырождении такого типа классические граничные условия оказываются излишними, и вместо этого накладывается условие конечности интеграла энергии, т. е. рассматривается фридрихсово расширение минимального оператора в L2. Его свойства подробно обсуждаются в докладе.