Расстояние между двумя подмножествами малого объёма внутри выпуклого тела

Насколько далеки друг от друга могут быть два подмножества единичного $n$-мерного куба? Хотя диаметр куба равен $\sqrt{n}$, два множества объема $\varepsilon$ не могут отстоять далеко: расстояние между ними не превосходит $C\cdot\sqrt{\ln(\varepsilon})$, где $C$ – абсолютная константа. Для симплексов и кросс-политопов(октаэдров) асимптотически точная оценка равна $C\cdot|\ln(\varepsilon)|$. Обе оценки не зависят от размерности. C этими вопросами связаны обобщения изопериметрической задачи на различные пространства и меры: подмножества заданного $n$-мерного тела в $\mathbb{R}^n$, поверхность $(n-1)$-мерной сферы, пространство с гауссовой мерой, и т.д.