Устойчивость динамических систем и задача приближения функций суммами экспонент

Линейные динамические системы с переключениями – это линейные системы обыкновенных дифференциальный уравнений, в которых матрица в правой части в каждый момент времени может принимать любые значения из заданного семейства матриц. Система устойчива по Ляпунову, если при любом выборе матриц траектория стремится к нулю. Подобные системы имеют широкие приложения в электронике, робототехнике, случайных процессах, и др. Но, если для обычных линейных систем (без переключений) проблема устойчивости легко решается с помощью собственных значений матрицы, то для систем с переключениями все значительно сложнее. В общем виде эта алгоритмически неразрешимая проблема даже для двух матриц (Блондель, Цициклис, 2000). Приближенно она решается построением функции Ляпунова. Особенно полезны инвариантные нормы Ляпунова, известные также как нормы Барабанова. В 2017 г. в совместной работе с Н.Гульелми мы представили метод их построения . Как было доказано в 2022 г., для большинства систем с переключениями инвариантная функция Ляпунова единственна и имеет простой вид, что довольно неожиданно, поскольку всегда считалось, что такие функции имеют сложную «фрактальную» структуру. Для их построения нужно дискретизировать систему, при этом важно оценить шаг дискретизации (dwell time) . Последняя задача равносильна поиску полиномов наилучшего приближения по системам экспонент. Для действительных экспонент решение строится с помощь аналога теоремы Чебышева – Валле-Пуссена об альтернансе. Но для комплексных экспонент данная техника не работает. Мы покажем метод решения и сформулируем ряд открытых проблем. Одной из них является гипотеза о производных «экспоненциальных полиномах Чебышева», которая имеет важное значение в задаче устойчивости.