Полиномы на параболических многообразиях

Штейново многообразие $X$ называется $S$-параболическим если на нем существует специальная функция исчерпания
$$ \rho(z)\colon\{\rho(z)\leq C\}\Subset X\quad \forall C\in\mathbb R, \quad (dd^c\rho)^n=0\quad \text{вне некоторого компакта $K\Subset X$}. $$
По-видимому, впервые, $S$-параболические многообразия использовались Гриффитсом и Кингом при построении многомерной теории Неванлинны для отображения $f\colon N\to M $ $S$-параболического $n$-мерного многообразия $N$ на компактное $m$-мерное многообразие $M$. В последствии параболические многообразия изучались в работах Штолля, Фокта, Айтуны, Зериахи и других математиков. Отметим, что многообразие $(\mathbb C^n,\ln|z|)$ является одним из наиболее просты примеров параболических многообразий.
Настоящий доклад посвящен пространству полиномов на $S$-параболических многообразиях. Функция $p\in \mathcal{O}(X)$ называется $\rho$-полиномом на $(X,\rho)$, если она допускает оценку $|p(z)|\leq c+d\rho(z)$, где $c,d$ – некоторые постоянные. В докладе будет приведен пример параболического многообразия $(X,\rho)$, на котором не существует нетривиального полинома $p(z)\neq \mathrm{const}$.
Определение. $S$-параболическое многообразие $(X,\rho)$ называется регулярным, если пространство полиномов $\mathcal{P}(X)$ плотно в $\mathcal{O}(X)$. Заметим, что многообразие $(\mathbb C^n,\ln|z|)$ или же алгебраическое многообразие с подходящей функцией исчерпания $\rho(z)$ являются регулярными. Основной целью доклада является доказательство аналога классической теоремы Бернштейна–Уолша для регулярного параболического многообразия, связывающей скорость полиномиального приближения функции $f(z)\in C(K)$ с аналитическим продолжением $f$ в некоторую окрестность $G\supset K$. Область $G$ определяется функцией Грина компакта $K.$ Для $(\mathbb C^n,\ln|z|)$ этот аналог доказан Й. Сичаком.