Об оценках расстояния до точных решений одного класса задач со свободными границами

Рассматриваются эллиптические и параболические вариационные неравенства, порождаемые задачами с препятствиями. Существование и единственность обобщенных решений, их регулярность и локальные свойства хорошо изучены.
Заметим однако, что за редким исключением, явные представления точных решений неизвестны. Поэтому в большинстве случаев мы вынуждены рассматривать некоторое приближение вместо точного решения. Неизбежно возникает вопрос: как проверить, что полученное приближенное решение действительно близко к точному? Кроме того, для рассматриваемого класса задач возникает более сложный вопрос: можем ли мы доверять приближениям свободных границ, вычисленным с помощью стандартных численных подходов?
Ключевым моментом анализа является тождество апостериорной ошибки, которое связывает определенную меру расстояния с вычисляемым комплексом, зависящим только от аппроксимации и известных данных. Такие тождества получены для широкого класса вариационных задач. Мы обсудим их и соответствующие оценки для классической эллиптической задачи с препятствиями, для эллиптической задачи с тонким препятствием и для аналогичных параболических задач.