Аннотация:
Классический результат Бореля утверждает, что кольцо когомологий многообразия полных флагов изоморфно кольцу многочленов от $n$ переменных, отфакторизованному по идеалу, порождённому симметрическими многочленами без свободного члена. С другой стороны, у этого кольца есть замечательный базис, образованный циклами Шуберта, т. е. классами замыканий орбит борелевской подгруппы в $\mathrm{GL}(n)$. Около полувека назад И. Н. Бернштейн, И. М. Гельфанд и С. И. Гельфанд и независимо от них А. Ласку и М.-П. Шютценберже построили явный набор полиномиальных представителей классов Шуберта: так называемые многочлены Шуберта. Эти многочлены имеют положительные коэффициенты и могут быть описаны как производящие функции для некоторых диаграмм (конфигураций псевдолиний), которые по-английски называются pipe dreams. Это обобщает конструкцию многочленов Шура как сумм мономов, отвечающих таблицам Юнга.
Ту же задачу можно рассматривать для обобщённых многообразий флагов $G/B$ для других классических групп: $G=\mathrm{SO}(n)$ и $\mathrm{Sp}(2n)$. Многочлены Шуберта для классических групп типов $\mathsf B$, $\mathsf C$, $\mathsf D$ были определены С. Билли и М. Хайманом в 1995 г.; в 2011 г. Т. Икэда, Л. Михалча и Х. Нарусэ изучали их $T$-эквивариантные аналоги, т. е. некоторые «хорошие» представители классов Шуберта в кольце $Т$-эквивариантных когомологий многообразия $G/B$. Я расскажу об аналогах pipe dreams, нумерующих мономы в этих многочленах. Если останется время, я расскажу об обобщениях этих утверждений для $K$-теории многообразия флагов. Это наша совместная работа с А. Тутубалиной.
Обратная связь: