Аннотация:
Пусть $L$ — однородный эллиптический дифференциальный оператор
второго порядка в $\mathbb{R}^N$, $N\ge3$, с постоянными
комплексными коэффициентами. Напомним определения емкостей
$\gamma_L$ ($U\subset\mathbb{R}^N$ — ограниченное множество):
$$ \gamma_{L}(U)=\sup_T\{|\langle
T|1\rangle|:\, {\rm Spt}(T)\subset U,\,\|T*\Phi_{L}\|_{{\rm
L}^{\infty}(\mathbb{R}^N)}\le1\},
$$
где ${\rm Spt}(T)$ — носитель распределения $T$, $*$ —
оператор свертки, $\Phi_{L}$
— фундаментальное решение оператора $L$, $\langle T|1\rangle$
— действие распределения $T$ на пробную функцию.
В терминах емкостей $\gamma_{L}$ описываются устранимые
особенности ограниченных решений уравнений $Lf=0$,
а также недавно получен [1]
критерий равномерной приближаемости функций решениями уравнений
$Lf=0$ на компактных подмножествах $\mathbb{R}^N$. Емкость
$\gamma_{L,+}$ — частный случай $\gamma_{L}$, если $T$ —
неотрицательная мера, $\gamma_{\Delta}=\gamma_{\Delta,+}$
— классические гармонические емкости.
Возникает вопрос: соизмеримы ли емкости $\gamma_{L}$ и
$\gamma_{\Delta}$ (с точностью до положительного множителя,
зависящего только от $L$). Он нетривиален, т.к. $L$ — оператор с
комплексными коэффициентами, а фундаментальные решения устроены
довольно сложно, и их свойства зависят от размерности
пространства, например, в $\mathbb{R}^N$, $N\ge5$ (в отличие от
$\mathbb{R}^3$ и $\mathbb{R}^4$), значения фундаментального
решения в общем случае
могут не содержаться [2] в одной полуплоскости из
$\mathbb{C}$.
Постановка близка к известной проблеме соизмеримости аналитических
емкостей $\gamma$ и $\gamma_+$, которую решил Х. Толса [3], однако
здесь есть своя специфика: ядро $\Phi_{L}$ является четным в
отличие от нечетного ядра Коши.
Тем не менее, в 2022 году был получен ряд положительных
результатов, в частности, доказана соизмеримость $\gamma_{L,+}$ с
$\gamma_{\Delta}$ сначала для $N=3,4$ [2], а затем и для всех
$N$, установлена соизмеримость $\gamma_{L}$ и $\gamma_{\Delta}$ в
случае канторовых множеств.
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (грант
22-11-00071).
Список литературы
[1] Мазалов М.Я., “Критерий равномерной приближаемости индивидуальных функций
решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка с постоянными комплексными
коэффициентами.” Матем. сб., 211 (9): 60–104, 2020.
[2] Парамонов П.В., Федоровский К.Ю., "Явный вид фундаментальных решений некоторых
эллиптических уравнений и связанные с ними $B$- и $C$-емкости." Матем. сб., 214 (в
печати): 17 с., 2023.
[3] Tolsa X., “Painleve’s problem and the semiadditivity of analytic capacity.”
Acta Math., 190 (1): 105–149, 2003.
|
Обратная связь: