О скалярной задаче равновесия для $\mathcal{GN}$-систем

В 2018 году в рамках деятельности по обобщению теории Г. Шталя на полиномы Эрмита–Паде С. П. Суетиным в работе [4] был предложен новый подход к описанию слабой асимптотики полиномов Эрмита–Паде для систем функций марковского типа. Он основан на рассмотрении скалярной теоретико-потенциальной задачи равновесия с внешним гармоническим полем, поставленной на компактной римановой поверхности. В [4] этот метод был проиллюстрирован на примере решения модельной задачи о слабой асимптотике полиномов Эрмита–Паде типа I для обобщённой системы Никишина специального вида $\aleph_0$ из двух функций; в работе [2] он был распространён на минимально более общую $\mathcal{GN}$-систему $\aleph_g$. Основное различие между системами $\aleph_0$ и $\aleph_g$ геометрическое. В обозначениях работы [1] им соответствуют графы $\Gamma_0(\mathcal{V}_0,\mathcal{E}_0,O_0)$ и $\Gamma_g(\mathcal{V}_g,\mathcal{E}_g,O_g)$ соответственно; при этом $\mathcal{V}_0=\mathcal{V}_g = \{\mathtt{0},\mathtt{1},\mathtt{2}\}$, $O_0=O_g=\mathtt{0}$, но для $\Gamma_0$ множество $(\mathtt{0},\mathtt{1})$ состоит из одного элемента, а для $\Gamma_g$ – из $g+1$ элемента. Предельная мера соответствующих полиномов Эрмита–Паде в [2] описана в терминах скалярной теоретико-потенциальной задачи равновесия на гиперэллиптической римановой поверхности рода $g$ с внешним гармоническим полем $\log|\Phi(\mathbf{z})|$ относительно ядра
$$g_{\circ}(\mathbf{z},\infty^{(1)},\mathbf{t})-\log|z-t|,$$
где $g_{\circ}$ – $\circ$-нормированная биполярная функция Грина [5], $\mathbf{z}$ – точка на поверхности, $z=\pi(\mathbf{z})$ – её образ при каноническом проектировании на риманову сферу, $\Phi(\mathbf{z})$ – функция, конформно отображающая рассматриваемую риманову поверхность на риманову сферу. В случае $g=0$ система $\aleph_g$ переходит в $\aleph_0$, а вышеописанное ядро и внешнее поле – в таковые из работы [4].
В [3] для было показано, что для системы $\aleph_0$ рассматриваемая скалярная задача равновесия на римановой поверхности эквавлентна векторной теоретико-потенциальной задаче равновесия на плоскости [1], в терминах которой традиционно и описывается слабая асимптотика полиномов Эрмита–Паде. В докладе пойдёт речь о доказательстве аналогичного результата для $\aleph_g$,
Исследование выполнено за счёт гранта Российского научного фонда № 19-11-00316.
Список литературы
[1] Аптекарев А. И., Лысов В. Г., “Системы марковских функций, генерируемые графами, и асимптотика их аппроксимаций Эрмита–Паде.” Матем. сб., 201 (2): 29–78, 2010.
[2] Лопатин И. А., “Об обобщении нового подхода к описанию слабой асимптотики полиномов Эрмита-Паде для системы Никишина.” Матем. сб., в печати, 2021.
[3] Суетин С. П., “О новом подходе к задаче о распределении нулей полиномов Эрмита–Паде для системы Никишина.” Комплексный анализ, математическая физика и приложения, Сборник статей, Тр. МИАН, 301 : 259–275, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2018.
[4] Суетин С. П., “Об эквивалентности скалярной и векторной задач равновесия для пары функций, образующей систему Никишина.” Матем. заметки, 106 (6): 904–916, 2019.
[5] Чирка Е. М., “Потенциалы на компактной римановой поверхности.” Комплексный анализ, математическая физика и приложения, Сборник статей, Тр. МИАН, 301 :287–319, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2018.