Полнота экспоненциальных систем в пространствах голоморфных функций и теорема Хелли о пересечении выпуклых множеств

Система функций из топологического векторного пространства $H$ полна, если замыкание её линейной оболочки совпадает с $H$. На компактах $C$ в комплексной плоскости $\mathbb C$ рассматриваем в качестве модельного банаховы пространства функций $f\colon C\to \mathbb C$, непрерывных на $C$ и одновременно голоморфных во внутренности $C$, со стандартной нормой $\|f\|:=\sup\Bigl\{\bigl|f(z)\bigr|\Bigm| z\in C\Bigr\}$, которое содержит любые экспоненциальные системы $\operatorname{Exp}^Z:=\Bigl\{ w\underset{w\in \mathbb C}{\longmapsto} e^{zw}\Bigm| z\in Z \Bigr\}$, где $Z$ — не более чем счётное распределение попарно различных точек-показателей на $\mathbb C$. Обзор по полноте таких систем можно найти в [1].
Мотивировка рассматриваемых геометрических вопросов — исследование условий, при которых система $\operatorname{Exp}^Z$ с показателями $Z$, являющимися нулями некоторой суммы (конечного или бесконечного) семейства целых функций экспоненциального типа, полна или нет в указанных выше пространствах функций. Когда $C$ – выпуклый компакт, эта задача оказалась тесно связанной с теоремой Хелли о пересечении выпуклых множеств в следующей трактовке [2], [3].
Пусть $C$ и $S$ — два множества в конечномерном евклидовом пространстве над полем вещественных чисел $\mathbb R$, заданные соответственно как пересечения и как объединения некоторых подмножеств этого пространства. Даются критерии, при которых некоторый параллельный перенос, т.е. сдвиг, множества $C$ полностью покрывает (соответственно содержит, соответственно пересекает) множество $S$. Эти критерии и подобные им формулируются в терминах геометрических, алгебраических и теоретико-множественных разностей подмножеств, порождающих $C$ и $S$, опорных функций множеств $C$ и $S$, а также смешанных площадей выпуклых множеств в $\mathbb C$ или объёмов в $\mathbb R^n$, $n=1, 2, 3, \dots$. Отдельно обсуждается двумерный специфический случай, когда множества неограничены, для чего используются дополнительные характеристики множеств.
Полученные в [3], [4], [5] на основе этих геометрических рассмотрений результаты по полноте систем $\operatorname{Exp}^Z$ или соответствующие эквивалентные им теоремы единственности для целых функций экспоненциального типа будут дополнены недавними новыми.
Исследование выполнено за счёт гранта Российского научного фонда № 22-21-00026.
Литература
[1] Хабибуллин Б. Н., Полнота систем экспонент и множества единственности. РИЦ БашГУ, Уфа, 2012.
[2] Хабибуллин Б. Н., “Теорема Хелли и сдвиги множеств. I.” Уфимск. матем. журн., 6 (3): 98–111, 2014.
[3] Хабибуллин Б. Н., “Теорема Хелли и сдвиги множеств. II. Опорная функция, системы экспонент, целые функции.” Уфимск. матем. журн., 6 (4): 125–138, 2014.
[4] Хабибуллин Б. Н., “Последовательности неединственности для весовых пространств голоморфных функций”, Изв. вузов. Матем., (4): 75–84, 2015.
[5] Хабибуллин Б. Н., Хабибуллин Ф. Б., “О множествах неединственности для пространств голоморфных функций”, Вестник ВолГУ. Сер. 1, Мат. Физ., 4(35): 108–115, 2016.