Мартингальный подход к исследованию ветвящихся случайных блужданий

Рассматривается ветвящееся случайное блуждание по решетке $\mathbb{Z}^d$, в котором частицы могут погибать и производить потомство, находясь в любой точке решетки. В предположении, что базовое марковское случайное блуждание однородно, симметрично и неприводимо, интенсивность ветвления в узле $x$ решетки стремится к нулю при $\|x\|\to\infty$ и выполнено дополнительное условие на параметры ВСБ, гарантирующее экспоненциальный по времени рост среднего числа частиц, доказывается предельная теорема о сходимости в среднеквадратическом нормированного числа частиц в произвольном фиксированном узле решетки при $t\rightarrow\infty$. При доказательстве используется мартингальная техника,– интересующее нас нормированное число частиц аппроксимируется некоторым неотрицательным мартингалом.