Среднее расстояние между случайными точками на границе выпуклой фигуры

Рассмотрим выпуклую фигуру $K$ на плоскости. Пусть $\theta(K)$ обозначает среднее расстояние между двумя случайными точками, независимо и равномерно выбранными на границе $K$. В докладе будет доказано, что среди всех выпуклых фигур фиксированного периметра максимальное значение $\theta(K)$ достигается у круга и только у него. Также будет доказана непрерывность $\theta(K)$ в метрике Хаусдорфа.