Рационально безгранично делимые распределения и их обобщения

Новый класс так называемых рационально безгранично делимых распределений является естественным и очень значительным расширением класса безгранично делимых распределений. Согласно определению, функция распределения на вещественной прямой называется рационально безгранично делимой, если ее свертка с некоторой безгранично делимой функцией распределения безгранично делима. Другими словами, функция распределения рационально безгранично делима, если ее характеристическая функция есть отношение характеристических функций некоторых двух безгранично делимых функций распределения. Несложно показать, что в таком случае ее характеристическая функция допускает представление Леви-Хинчина с некоторым вещественным параметром сдвига и с некоторой необязательно монотонной спектральной функцией, имеющей ограниченную вариацию на всей вещественной прямой. Примеры такого рода распределений встречались в хорошо известных классических монографиях Гнеденко и Колмогорова, Линника и Островского. Однако, определение и соответствующий класс были введены только в 2011 г. в одной работе Линднера и Сато в рамках некоторых задач теории случайных процессов. Недавно в статье Линднера, Пэна и Сато (Trans. Amer. Math. Soc., 370, 2018) был сделан первый большой анализ класса рационально безгранично делимых законов на основе представлений Леви–Хинчина. Сейчас данный класс активно изучается и находит свои приложения в других областях. В докладе будет сделан обзор основных определений и фактов, связанных с этим классом, а также представлены некоторые новые результаты о критериях принадлежности к нему, о слабой сходимости его представителей, а также о его обобщениях.