Большие уклонения ветвящихся процессов в случайной среде и их обобщения

Задача больших уклонений ветвящихся процессов в случайной среде (ВПСС) впервые была рассмотрена Михаилом Васильевичем Козловым в 2006 году. Для случая геометрического распределения числа потомков одной частицы при условии среды он сумел получить точную асимптотику вероятностей больших уклонений ВПСС Zn в форме P(ln Zn > x). Естественно подразумевать под большими уклонениями ВПСС случай x/n → θ, где θ > max(μ,0), μ – математическое ожидание шага сопровождающего блуждания. Однако, в работе 2006 года этот случай был рассмотрен не полностью – для строго докритического случая удалось рассмотреть только диапазон θ > γ, где γ > 0 некоторый параметр. Этот диапазон мы назовем первой зоной уклонений. Недостающая вторая зона уклонений μ < γ и переходные явления были изучены тем же автором в работе 2009 года в том же случае геометрического условного распределения числа потомков одной частицы. Затем Vincent Bansaye, Julien Berestycki, Christian Boeinghoff в цикле работ 2008-2013 годов изучили грубую (логарифмическую) асимптотику тех же вероятностей для более широких классов распределений. На время публикации по теме прекратились, пока в 2018-2022 годах не вышли сразу три независимых исследования: работа Dariusz Buraczewski и Pyotr Dyszewski (Wroclav), цикл из двух статей Александра Шкляева (Москва), статья Евгения Прокопенко и Марины Струлева (Новосибирск), посвященных точной асимптотике тех же вероятностей в первой зоне уклонений для широкого класса распределений. Первые два исследования использовали достаточно похожую технику, однако, автору этих строк удалось несколько шире развить идеи, лежащие в основе исследования такого рода вероятностей, применив ту же технику для второй зоны уклонений докритических ВПСС, к ВПСС с иммиграцией, а также для других видов процессов с ветвлением. Мы рассмотрим большие уклонения в более общей постановке рекуррентной последовательности Yn+1 =AnYn+Bn, n ≥ 0, где Ai независимые одинаково распределенные положительные величины, а вот Bi могут быть разнораспределенными и зависимыми, однако, должны удовлетворять определенным структурным и моментным условиям. В докладе будут обсуждены сопровождающие блуждания, которые можно сопоставить такого рода последовательности, описана асимптотика вероятностей больших, умеренных и нормальных уклонений для Yn, описана связь траектории и сопровождающего случайного блуждания при условии больших уклонений. В качестве последовательностей, к которым можно применить такого рода подход, можно назвать: ветвящиеся процессы в случайной среде (в том числе, включающие иммиграцию и определенную зависимость от числа частиц); двуполые ветвящиеся процессы в случайной среде; максимальные ветвящиеся процессы для некоторого частного случая функции распределения числа потомков одной частицы; максимальные ветвящиеся процессы в случайной среде для некоторого частного случая условной (при условии среды) функции распределения числа потомков одной частицы.