Метод Стейна и его развитие

В 1972 C.Stein предложил новый метод доказательства центральной предельной теоремы. Точнее говоря, было введено дифференциальное уравнение первого порядка, называемое теперь уравнением Стейна, решение которого позволяет оценить с помощью некоторой вероятностной метрики близость изучаемого распределения (например, распределения должным образом нормированной суммы случайных величин) к заданному нормальному закону. Далее этот мощный метод был развит и усовершенствован для тех случаев, когда «целевое распределение», с которым сравнивается изучаемое, отлично от гауссовского. Существенную роль при этом играют различные преобразования исходных распределений (в частности, равновесия и нулевого смещения). В ряде случаев эта техника в сочетании с другими приемами дает неулучшаемые оценки. Обсуждается вопрос, какие основы метода Стейна целесообразно включить в общий курс теории вероятностей, читаемый студентам механико-математического факультета МГУ. Проводится сопоставление рассматриваемого метода с набором классических средств: метод моментов (или семиинвариантов), метод характеристических функций, метод Линдеберга и подход Троттера. Отдельного внимания заслуживает вариант метода Стейна, основанный на использовании генератора определенного марковского процесса. Кратко упоминаются результаты автора и его учеников, установленные с помощью метода Стейна. Для полноты картины затрагивается связь метода Стейна с исчислением Малявэна.