Геометрия собственного класса всех метрических пространств, наделенного расстоянием Громова-Хаусдорфа

Расстояние Громова-Хаусдорфа измеряет степень похожести каждой пары метрических пространств. Если пространства «совсем похожи», т.е. изометричны, то расстояние между ними равно нулю. Однако неизометричные пространства тоже могут оказаться на нулевом расстоянии. Таким образом, даже после «факторизации» по отношению изометричности, расстояние Громова-Хаусдорфа не является положительно определенным. Также оно может быть бесконечным. Так как на каждом множестве можно ввести метрику, то метрические пространства, даже рассматриваемые с точностью до изометрии, образуют собственный класс в смысле теории множеств фон Неймана-Бернайса-Геделя. Именно про этот класс и пойдет речь в докладе. Будут даны все необходимые определения, рассказано о том, как на таких классах можно ввести аналог топологии, приведены многочисленные общие свойства этого класса, продемонстрированы некоторые неожиданные явления, контрастирующие с рядом утверждений М.Громова. Кроме того, если позволит время, мы обсудим ряд приложений расстояния Громова-Хаусдорфа к таким известным проблемам, как вычисление длин ребер минимальных остовных деревьев, к проблеме Борсука о разрезании компактного подмножества евклидова пространства на части меньшего диаметра, а также к нахождению числа кликового покрытия и хроматического числа простого графа.