Вокруг легкой проблемы Варинга

Доклад посвящен истории легкой проблемы Варинга и связанных с ней задач. Эта проблема состоит в нахождении для каждого натурального $k$ минимального $s = v(k)$ такого, что все натуральные числа $n$ могут быть представлены как суммы $k-х$ степеней целых чисел $n = ±x1^k± ... ± xs^k$ в количестве $s$ штук со знаками. Как мало какая другая задача, она иллюстрирует отсутствие осознания и упущенные возможности. Официально эта задача была сформулирована в 1933-34 годах Веселием и Райтом, однако в 1936 году Белл заметил, что дешевая версия этой задачи (аналог результата Гильберта, существование $s$) могла была решена в любое время после 1851 года, когда Тарди написал свои тождества. Я утверждаю, что именно работа Тарди и конфликт с Либри привели к тому, что Лиувилль заинтересовался классической проблемой Варинга, что и привело, в конечном счете, к ее полному решению. В свою очередь, полная версия легкой проблемы Варинга, вычисление фактического значения $s$, оказалась намного сложнее исходной проблемы Варинга и теснейшим образом связана с несколькими другими задачами арифметической и диофантовой геометрии. Мы обсуждаем различные аспекты этой классической задачи и нескольких близких проблем (рациональную проблему Варинга, проблемы Варинга для конечных полей, многочленов, числовых колец, и т.д.), а также связь с проблемой Варинга в нуле (проблема Ферма и гипотеза Эйлера и т.д.) Особый интерес представляют недавние рекордные компьютерные вычисления, связанные с представлением небольших конкретных чисел суммами трех кубов и т.д. (Mordell's challenge) и вклад любителей (Фролов, Веребрюсов и другие) на ранней стадии.