О группах $G_{n}^{k}$ и $\Gamma_{n}^{k}$

В 2015 году автор определил двухпараметрическое семейство групп $G_{n}^{k}$ и сформулировал следующий принцип:
Если динамика движения $n$ частиц обладает "хорошим" свойством коразмерности $1$, регулируемым ровно $k$ частицами, то такая динамика имеет топологические инварианты со значениями в группах $G_{n}^{k}$.
Первоначальный пример представляют косы из $n$ нитей на плоскости (или на проективной плоскости). Свойства "три точки коллинеарны" и "четыре точки лежат на одной окружности/прямой" приводят к естественным гомоморфизмам групп (крашеных) кос из $n$ нитей в группы $G_{n}^{3}$ и $G_{n}^{4}$ соответственно.
Образующие групп $G_{n}^{k}$ (индексируемые $k$-элементными подмножествами множества из $n$ элементов) отвечают свойствам коразмерности $1$, соотношения - свойствам коразмерности $2$, самое важное из которых является групповым аналогом высшего уравнения Янга-Бакстера (также известного как уравнение тетраэдра или уравнение Замолодчикова).
Естественным образом строятся гомоморфизмы из фундаментальных групп конфигурационных пространств (пространств модулей) в группы $G_{n}^{k}$ для различных $n,k$.
Конфигурации точек на многообразиях естественным образом приводят к разбиениям многообразий на камеры и двойственным триангуляциям (многомерным аналогам диаграмм Вороного и триангуляций Делоне).
На множестве комбинаторных типов триангуляций возникает естественное действие группы. Простейшие примеры таких групп - группы $\Gamma_{n}^{4}$ - отвечают двумерным поверхностям. "Свойство коразмерности $1$", задающее образующие групп $\Gamma_{n}^{4}$, состоит в том, что триангуляция претерпевает флип, т.е. некоторые четыре точки лежат на одной окружности, внутренность которых не содержит других точек.
Группы $\Gamma_{n}^{k}$ естественным образом связаны с кластерными алгебрами и мутациями, многообразиями триангуляций, колчанами, преобразованиями Птолемея, тропической геометрией, многогранниками Сташеффа. Они также приводят к представлениям групп кос и к связям кос с различными разделами математики.
В докладе будет приведен ряд примеров применения групп $G_{n}^{k}$ и $\Gamma_{n}^{k}$ в топологии и в алгебре и поставлены вопросы о потенциальных применениях этих групп в алгебраической геометрии.
Часть результатов получена автором совместно с И.М.Никоновым, Д.А.Федосеевым, Ким Сончжоном.
V.O.Manturov and D.A.Fedoseev, I.M.Nikonov, S.Kim, "Invariants and Pictures: Low-dimensional topology and combinatorial group theory", World Scientific, 2020.