Усреднение гиперболических уравнений с периодическими коэффициентами

Доклад основан на совместных работах с Марком Дородным. Я приведу обзор результатов [1], [2], [3], [4], [5] об усреднении гиперболических уравнений в $\mathbb{R}^d$.
В $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассмотрим сильно эллиптический дифференциальный оператор (ДО) $A_\varepsilon = b(\mathbf{D})^* g(\mathbf{x}/\varepsilon) b(\mathbf{D})$, $\varepsilon >0$. Здесь $g(\mathbf{x})$ – ограниченная и положительно определенная периодическая $(m \times m)$-матричнозначная функция; $b(\mathbf{D}) = \sum_{l=1}^d b_l D_l$ – матричный ДО первого порядка размера $(m\times n)$. Предполагается, что $m \geqslant n$, а символ $b(\boldsymbol{\xi})$ имеет максимальный ранг. Нас интересует поведение операторов $\cos (\tau A_\varepsilon^{1/2})$ и $A_\varepsilon^{-1/2} \sin (\tau A_\varepsilon^{1/2})$.
При $\varepsilon \to 0$ эти операторы сходятся по норме операторов, действующих из пространства Соболева $H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ (для подходящего $s$), к аналогичным операторнозначным функциям эффективного оператора $A^0$; поправка имеет порядок $O(\varepsilon)$ при фиксированном $\tau \in {\mathbb R}$. Мы обсуждаем возможность получения более точного приближения в норме $(H^s \to L_2)$ с поправкой порядка $O(\varepsilon^2)$, а также приближений в норме $(H^s \to H^1)$ с поправкой порядка $O(\varepsilon)$. Оказывается, что такие приближения (с подходящими корректорами) можно получить для операторов $A_\varepsilon^{-1/2} \sin (\tau A_\varepsilon^{1/2})$ и $\cos (\tau A_\varepsilon^{1/2}) \left(I + \varepsilon K(\varepsilon) \right)$, где $K(\varepsilon) = \Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D}) \Pi_\varepsilon$ включает быстро осциллирующий коэффициент $\Lambda^\varepsilon(\mathbf{x}) = \Lambda(\mathbf{x}/\varepsilon)$ и вспомогательный сглаживающий оператор $\Pi_\varepsilon$.
Особое внимание уделяется точности результатов. Результаты применяются к задаче Коши для гиперболического уравнения $\partial_\tau^2 {\mathbf u}_\varepsilon = - A_\varepsilon {\mathbf u}_\varepsilon + {\mathbf F}$.
[1] M.Sh. Birman and T.A. Suslina, Operator error estimates in the homogenization problem for nonstationary periodic equations, St. Petersburg Math. J. 20 (2009), no. 6, 873–928.
[2] Yu.M. Meshkova, On operator error estimates for homogenization of hyperbolic systems with periodic coeffcients, J. Spectr. Theory 11 (2021), no. 2, 587–660.
[3] M.A. Dorodnyi and T.A. Suslina, Spectral approach to homogenization of hyperbolic equations with periodic coefficients, J. Diff. Equ. 264 (2018), no. 12, 7463–7522.
[4] M.A. Dorodnyi and T.A. Suslina, Homogenization of hyperbolic equations with periodic coefficients in $\mathbb{R}^d$: Sharpness of the results, St. Petersburg Math. J. 32 (2021), no. 4, 605–703.
[5] M.A. Dorodnyi and T.A. Suslina, Homogenization of hyperbolic equations with periodic coefficients: Results with correctors, in preparation.