Решение задачи Арнольда о статистиках Гаусса–Кузьмина для конечных цепных дробей. Лекция 1

В своих лекциях о цепных дробях В. И. Арнольд сформулировал несколько интересных гипотез. Одна из них утверждает, что статистики Гаусса–Кузьмина для конечных цепных дробей асимптотически ведут себя так же как и для почти всех действительных чисел. Грубо говоря, если для всех точек $(p,q)$, лежащих в расширяющейся области, рассмотреть разложения в цепную дробь, то вероятность появления числа $k$ среди неполных частных будет стремиться к $p_k=\log_2(1+1/(k(k+2)))$ — вероятности появления $k$ в виде неполного частного «типичного» действительного числа. (См. задачу 1993-11 в книге «Задачи Арнольда» или стр. 17 брошюры «Цепные дроби».)
На занятиях планируется доказать эту гипотезу Арнольда в простейшем случае (для треугольной области $0<p\le q\le R$, $R\to\infty$), попутно познакомиться со всеми необходимыми инструментами и обсудить важность статистик Гаусса–Кузьмина для других задач.