Сбоку от зеркальной симметрии - 4

Зеркальная симметрия (в её исходной форме) состояла в наблюдении о существовании пар многообразий специального вида с замечательными свойствами симметрии некоторых их инвариантов, изначально — чисел Ходжа. Это наблюдение возникло в физике при анализе так называемых моделей Ландау-Гинзбурга. Они связаны с понятием орбифолда и их анализ привел к появлению новых необычных инвариантов, например, орбифолдной эйлеровой характеристики. Первая систематическая попытка конструирования зеркально-симметричных моделей Ландау–Гинзбурга принадлежала П.Берглунду, Т.Хюбшу и М.Хеннингсону. Входными данными для (орбифолдной) модели Ландау–Гинзбурга является пара $(f,G)$, состоящая из квазиоднородного многочлена $f$ от нескольких переменных и конечной группы сохраняющих его линейных преобразований. В конструкции Берглунда–Хюбша–Хеннингсона в качестве $f$ участвуют, так называемые, обратимые многочлены, а в качестве $G$ подгруппы групп их диагональных симметрий (которые, конечно, абелевы). По паре $(f,G)$ описанного вида строится двойственная по Берглунду–Хюбшу–Хеннингсону пара $(\widetilde{f},\widetilde{G})$. Двойственные пары $(f,G)$ и $(\widetilde{f},\widetilde{G})$ обладают рядом «зеркально симметричных» свойств (например, симметрией ряда орбифолдных инвариантов, простейшим из которых является орбифолдная эйлерова характеристика). Было построено обобщение этой двойственности на группы симметрий, являющиеся полупрямыми произведениями $G\rtimes S$ группы $G$ диагональных симметрий обратимого многочлена $f$ и группы $S$ перестановок координат, сохраняющих $f$ и $G$. (Конструкция основана на идее А.Такахаши и поэтому называется двойственностью Берглунда–Хюбша–Хеннингсона–Такахаши.) Оказывается, что двойственные по Берглунду–Хюбшу–Хеннингсону–Такахаши пары могут претендовать на зеркальную симметричность только при выполнении специальных ограничений на группу $S$ перестановок координат: так называемое условие четности.
Цикл лекций назван «Сбоку от ...», в частности, потому, что в современном понимании понятие (или, правильнее, понятия: имеется не одна версия) зеркальной симметрии сильно отличается от исходного. Надеюсь, что для понимания лекций не понадобится знаний, выходящих за рамки третьего курса: необходимые понятия и утверждения будут определены и/или объяснены. Пожалуй, наиболее «продвинутым» понятием, желательным (но тоже не обязательным: при необходимости оно тоже будет определено) для понимания является понятие групп когомологий. При этом достаточно ограничиться группами когомологий де Рама (которые обычно обсуждаются в рамках курса дифференциальной геометрии и топологии).
Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект 21-11-00080).