Полная положительность и электрические сети - 1

Кластерные алгебры и полностью положительные матрицы — одна из бурно развивающихся областей современной математики. Кластерные алгебры возникли в задачах малых устойчивых колебаний линейных континуумов, получили второй всплеск внимания благодаря теории канонических базисов Люстига, сейчас широко известны благодаря связям с теорией интегрируемых систем, диофантовых уравнений, моделями статистической механики.
В курсе я расскажу о происхождении области полностью положительных матриц, дам необходимые определения кластерных многообразий и разберу основные примеры. Особое внимание будет уделено электрическим аналогам кластерных многообразий.
План по лекциям:
1. Полностью положительные матрицы. Определение, пример верхнетреугольных матриц и полных квадратных матриц. Задачи минимальной параметризации. Обменные преобразования.
2. Кластерные алгебры. Общее определение, реализация кластерных алгебр, соответствующих Грассманианам и группе верхнетреугольных матриц.
3. Осцилляционные матрицы и задача устойчивых малых колебаний. Электрические сети и электрические кластерные многообразия.