Конструктивные геометрические асимптотики и операторные подходы в задачах математической физики - 1

Лекции посвящены аналитическим методам построения эффективных асимптотик быстроменяющихся решений широкого круга дифференциальных и псевдодифференнциальных уравнений. В основе методов лежат геометрические объекты — лагранжевы многообразия в фазовых пространствах, сотканные из траекторий классических гамильтоновых систем. Знание таких многообразий и последующее применение канонического оператора Маслова позволяет построить асимптотические решения различных дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений, возникающих в различных областях квантовой механики, механики сплошных сред, теории ортогональных полиномов и т.д. Обсуждаемые асимптотики находятся в рамках квазиклассического приближения и основополагающие идеи их построения были предложены более 50 лет назад.
В лекциях речь пойдет о недавно построенных существенных модификациях указанных асимптотических конструкций, позволивших, с одной стороны, выражать ответ в эффективной форме, например, через специальные функции и реализуемый с помощью программ типа Mathematica, а, с другой, — существенно расширить область рассматриваемого круга задач, допустив, например, негладкость возникающих лагранжевых многообразий. Также внимание будет уделено некоторым полезным соображениям, вытекающим из операторного исчисления Фейнмана–Маслова. Общие конструкции будут проиллюстрированы примерами из теории ортогональных полиномов, квантовой механики (физики графена, в частности), теории волновых пучков, гидродинамики. Каких-либо особых математических знаний не предполагается.