Голоморфные интегралы в теории униформизации алгебраических кривых

Мы рассматриваем проблему параметризации алгебраических зависимостей – теория униформизации – в контексте расширенной дифференциальной теории. В теорию будут вовлечены не только автоморфные мероморфные униформизирующие функции и их фуксовы уравнения, но и абелевы интегралы. Голоморфные интегралы, как известно, играют выделенную роль среди всех абелевых интегралов. Поэтому мы рассмотрим дифференциальную теорию для них. Они окажутся дифференциально замкнутыми; это будет определено. В этом контексте, даже стандартная теория эллиптических функций допускает еще одну (малоизвестную) канонизацию в виде определяющих дифференциальных уравнений и их решений. В заключение мы рассмотрим пример для $g=2$, который в настоящее время является, по всей видимости, единственным в том смысле, что вся теория с решениями прописывается до максимально конечных формул-ответов, хотя и несколько выходит за рамки нашей основной теоремы. Эта теорема говорит, что вместо стандартного фуксова уравнения и проблемы его акцессорных параметров можно рассматривать соответствующие ОДУ на голоморфные интегралы. Более того, система таких уравнений ассоциируется естественно с гиперэллиптическим (!) уравнением, но имеет универсальный характер в том смысле, что приложима и к произвольным алгебраическим зависимостям. Мы называем это фундаментальным гиперэллиптическим анзацем.