Многообразия с абелевой группой монодромии

Пусть $X^n\subset\mathbb P^N$ неособое комплексное алгебраическое многообразие, а $Y\subset X$ его неособое гиперплоское сечение. Из теории Лефшеца известно, что естественное отображение гомологий $\rho_i:H_i(Y,\mathbb Q)\to H_i(X,\mathbb Q)$ является изоморфизмом при $i<n-1$ и эпиморфизмом при $i=n-1$. Исчезающие гомологии $\operatorname{Van}=\operatorname{Ker}{\rho_{n-1}}$ порождаются исчезающими циклами Лефшеца, соответствующими особым точкам общего пучка гиперплоских сечений, включающего $Y$. На гомологиях $H_*(Y,\mathbb Q)$ действует группа монодромии $\Gamma$, являющаяся представлением фундаментальной группы $\pi_1(\mathbb P^{N\,{}^*} \setminus X^*)$, где $X^*$ двойственное многообразие, причём это действие тривиально только на $H_i(Y,\mathbb Q)$ при $i\ne n-1$. Если двойственное многообразие $X^*$ не является гиперповерхностью, то очевидно, что $\operatorname{Van}$ и $\Gamma$ тривиальны. В докладе, основанном на (еще не законченной) совместной работе с С. М. Львовским, исследуются многообразия $X$, для которых $X^*$ гиперповерхность, а группа $\Gamma$ абелева или, что эквивалентно, $\operatorname{Van}$ порождается единственным циклом Лефшеца. Ответ зависит от чётности $n$. Если $n$ нечётно, то $\operatorname{Van}$ одномерно и $\Gamma\simeq\mathbb Z/2\mathbb Z$; так бывает тогда и только тогда, когда двойственная гиперповерхность $X^*$ нормальна. Если же $n$ чётно, то $\operatorname{Van}=0$ и группа $\Gamma$ тривиальна; так бывает тогда и только тогда, когда двойственная гиперповерхность $X^*$ не имеет каспов в коразмерности один. Такие многообразия $X$ распадаются на два класса — продолжаемые и непродолжаемые.
Для понимания доклада не требуется знания теории Лефшеца, все необходимое будет рассказано.