|
|
Семинар им. В. А. Исковских
19 мая 2022 г. 16:45, г. Москва, мехмат МГУ, ауд. 13-11
|
|
|
|
|
|
Комплексная геометрия многообразий с действием тора
Т. Е. Панов |
Количество просмотров: |
Эта страница: | 211 |
|
Аннотация:
Торическая геометрия и топология даёт
большое количество примеров
многообразий с "нестандартными"
комплексными структурами, т.е.
некэлеровыми и даже не мойшезоновыми.
Одним из основных классов таких
примеров являются
момент-угол-многообразия. Комплексное
момент-угол-многообразие $\mathcal{Z}$ задаётся
некоторым
набором комбинаторно-геометрических
данных, включающих полный
симплициальный (но не обязательно
рациональный) веер.
В случае рациональных вееров
многообразие $\mathcal{Z}$ является тотальным
пространством голоморфного расслоения
над торическим многообразием со слоем
компактный комплексный тор. В этом
случае инварианты комплексной
структуры на $\mathcal{Z}$, такие как когомологии
Дольбо и числа Ходжа, могут быть описаны
при помощи спектральной
последовательности Бореля голоморфного
расслоения.
В общем случае на комплексном
момент-угол-многообразии $\mathcal{Z}$ имеется
каноническое голоморфное слоение $\mathcal{F}$,
эквивариантное под действием
алгебраического тора. Примеры
момент-угол-многообразий включают
многообразия Хопфа, Калаби-Экманна и их
деформации. Пара ($\mathcal{Z}$,$\mathcal{F}$) из многообразия и
голомофрного слоения также изучалась
как модель для некоммутативных
торических многообразий в работах Katzarkov,
Lupercio, Meersseman, Verjovsky (arXiv:1308.2774) и Ratiu, Zung
(arXiv:1705.11110).
Геометрия многообразий $\mathcal{Z}$ и слоений $\mathcal{F}$
весьма интересна и нестандартна.
Основным инструментом для изучения
геометрии комплексных
момент-угол-многообразий $\mathcal{Z}$ является
трансверсально кэлерова форма для
слоения $\mathcal{F}$. Такая форма существует при
некоторых ограничениях на
комбинаторные данные. Путём
интегрирования трансверсально
кэлеровой формы доказывается, что любое
кэлерово подмногообразие в
момент-угол-многообразии $\mathcal{Z}$ лежит в листе
слоения $\mathcal{F}$. Для общего
момент-угол-многообразия $\mathcal{Z}$ в своём
комбинаторном классе все его
подмногообразия являются
момент-угол-многообразиями меньшей
размерности, а значит число их конечно.
Это влечёт, в частности, что $\mathcal{Z}$ не
допускает непостоянных мероморфных
функций, т.е. его алгебраическая
размерность равна нулю.
Battaglia, Zaffran (arXiv:1108.1637) вычислили базисные
числа Бетти для канонического
голоморфного слоения на
момент-угол-многообразии $\mathcal{Z}$,
соответствующем расщепляемому (shellable)
вееру. Ими была высказана гипотеза, что
кольцо базисных когомологий в случае
произвольного симплициального веера
имеет тот же вид, что и кольцо
когомологий полного симплициального
торического многообразия (даваемое
теоремой Данилова-Юркевича). Мы
доказываем эту гипотезу. Доказательство
использует спектральную
последовательность Эйленберга-Мура;
ключевым утверждением здесь является
формальность модели Картана для
действия тора на $\mathcal{Z}$.
Доклад основан на совместных работах с
Х.Исидой, Р.Крутовским, Ю.Устиновским и
М.Вербицким.
|
|