Затягивание потери устойчивости при разгоне рояльного колеса

Рассматривается задача о движении колеса по неподвижной горизонтальной плоскости с трением. Колесо закреплено в невесомой рамке, к которой приложена ведущая сила, постоянная в абсолютном пространстве. Предполагается, что в точке контакта колеса и плоскости действует сила и момент трения. Устойчивость прямолинейных движений колеса с постоянной скоростью центра масс колеса исследована в линейном приближении. Показано, что при достаточно общих предположениях о зависимости силы и момента трения от фазовых переменных матрица линеаризованной системы является блочно-диагональной: уравнения, описывающие динамику угла курса и поперечного проскальзывания ("поперечная" подсистема), отделяются от уравнений, описывающих вертикальные колебания, продольное проскальзывание и скорость вращения колеса вокруг своей оси ("продольная" подсистема). Для некоторой частной модели трения показано, что "продольная" подсистема всегда устойчива, а "поперечная" становится неустойчивой при превышении скорости центра колеса некоторого критического значения, зависящего от выноса колеса. Для параметров системы, соответствующих бифуркации Андронова-Хопфа "поперечной" подсистемы, проведено численное моделирование разгона колеса в полной нелинейной системе, которое показывает явление затягивания неустойчивости - колебания плоскости колеса относительно вертикальной оси (явление шимми) возникают при скорости большей, чем критическая.