Конструктивные интегральные представления для канонического оператора Маслова с комплексными фазами

Канонический оператор Маслова с комплексными фазами (теория комплексного ростка) позволяет строить асимптотические решения широкого класса линейных (псевдо)дифференциальных уравнений в частных производных с малым параметром в виде осциллирующих функций, локализованных в окрестности поверхностей различных размерностей, меньших размерности исходной задачи (например, асимптотики в виде гауссовых волновых пакетов или гауссовых волновых пучков). Основной геометрический объект в таких задачах - расслоение с базой - изотропным многообразием в вещественном фазовом пространстве и слоями - плоскостями (комплексным ростком) в комплексифицированном фазовом пространстве. Асимптотика представляется в эффективном виде в окрестности (регулярных) точек, взаимно однозначно проектирующихся из изотропного многообразия в конфигурационное пространство, и в виде осциллирующих интегралов с комплексной фазовой функцией в окрестности особых точек. Строятся новые представления канонического оператора с комплексным фазами, аналогичные предложенным недавно С.Ю.Доброхотовым, В.Е.Назайкинским и А.И.Шафаревичем для вещественного канонического оператора, позволяющие избежать перехода в не очень эффективную в практических приложениях импульсно-координатную систему координат, что обычно необходимо делать при применении канонического оператора в стандартном виде. Практическим результатом является получение более простых для конкретных вычислений выражений. В некоторых случаях возможно эффективное представление асимптотических решений в виде специальных функций.