Лекция 9: Ультрафильтры и дуальность Стоуна

Мы познакомимся с понятием ультрафильтра (булевой алгебры) и покажем, что для любого нетривиального фильтра F следующие условия эквивалентны: 1) F является ультрафильтром; 2) F максимален по включению среди нетривиальных фильтров; 3) F обладает «дизъюнктивным свойством», т.е. является простым. Далее, мы докажем аналог леммы о расширении, также известной как лемма Линденбаума, из базового курса логики в терминах фильтров и ультрафильтров, где фильтры играют роль теорий, а ультрафильтры — полных непротиворечивых теорий. С её помощью мы получим альтернативное доказательство «малой теоремы Стоуна», которую можно теперь уточнить следующим образом: всякая булева алгебра вкладывается в булеву алгебру подмножеств множества всех своих ультрафильтров. Более того, мы поговорим о том, как можно получить аналогичный результат для произвольных дистрибутивных решёток. Наконец, мы введём понятие булева (топологического) пространства и докажем настоящую теорему Стоуна, устанавливающую дуальную связь между булевыми алгебрами и булевыми пространствами.