Множества с несколькими расстояниями

Множество точек $X$ в метрическом пространстве $M$ называется множеством с $s$ расстояниями ($s$-distance set), если множество всех ненулевых попарных расстояний между точками $X$ состоит всего из $s$ значений. Пусть $M$ является сферой в $n$-мерном евклидовом пространстве. Обозначим через $g(n)$ максимально возможное число точек множества $X$ с 2-мя расстояниями. Известно, что $g(n)$ не превосходит $n(n+3)/2$ и эта граница точна при $n=2,6,22$. В докладе будет показано, что комбинация метода Дельсарта и полиномиального метода приводит к равенству $g(n)=n(n+1)/2$ при $6<n<22$, $23<n<40$. Также показано, что $g(23)=276$ или $277$. Во второй части доклада будет рассказано о недавней совместной работе докладчика и А. Барга о множествах с $s$ расстояниями на кубе (т.е. $M={}$ пространство Хэмминга) и в пространстве $k$-элементных подмножеств множества из $n$ элементов. Здесь удалось улучшить несколько классических верхних оценок.