Гомотопический тип пространств функций Морса на поверхностях. Часть 2 (Комплексы функций Морса: примеры, идея доказательства, описание кольца когомологий)

Пусть $M$ — гладкая связная ориентируемая замкнутая поверхность рода $g$. Рассмотрим морсовские функции на $M$, у которых фиксировано количество критических точек каждого индекса $0$, $1$, $2$ (точки локальных минимумов, седловые точки и точки локальных максимумов). Для удобства предположим, что не менее чем $3-2g$ критических точек отмечены разными метками (т.е. покрашены в разные цвета или занумерованы). Цель доклада — изучить и описать гомотопический тип пространства $F=F(M)$ таких функций, снабженное $C^\infty$-топологией.
Часть 1.
Описан конечномерный счетный (и конечный при $g=0$) полиэдр $K$ (комплекс оснащенных функций Морса), состоящий из блоков — «косых цилиндрических ручек». Блоки (т.е. ручки) полиэдра $K$ находятся во взаимно однозначном соответствии с «классами изотопности» функций из $F$, причем (аналогично клеточному разбиению) каждая ручка имеет индекс и приклеена своей подошвой к объединению ручек меньших индексов.
Теорема. Пространство $F$ гомотопически эквивалентно прямому произведению $R$ и $K$, где $R$ — это $\mathrm{SO}(3)$, $T^2$ или точка — в зависимости от $g=0,1$ или больше.
Часть 2.
Примеры. Если количество седловых критических точек равно $2$, то полиэдр $K$ является ориентированной хордовой диаграммой (которая будет построена на докладе), в которой хорды и ориентированные циклы — это ручки индексов $1$ и $0$. В частности, полиэдр $K$ гомотопически эквивалентен букету $4$, $6$ или $Z$ окружностей.
Пусть $g=0$ и все неседловые критические точки отмечены (пронумерованы). Тогда полиэдр $K$ конечен и состоит из (некосых) «торических ручек», причем объединение любой ручки и всех примыкающих к ней ручек меньших индексов аналогичен «момент-угол комплексу». Описано кольцо когомологий полиэдра $K$ (как когомологии некоторого коцепного комплекса, имеющего сходство с комплексом Хованова диаграммы узла) с точностью до решения задачи расширения.