Сильная форма гипотезы Гротендика о сечении для функциональных полей над $\bar F_p$

Более 20 лет назад Гротендик предложил критерий Галуа существования рациональной над полем $k$ точки на алгебраическом многообразии определенным над $k$. А именно, каждая точка $x_0\subset X$ над $k$ определяет групповое сечение для сюръективного отображения групп Галуа $\pi\colon Gal(\bar k(X)/k(X))\to Gal(\bar k/k)$. Гипотеза Гротендика утверждает, что существование сечения $s\colon Gal(\bar k/k)\to Gal(\bar k(X)/k(X))$ влечет существование точки $x_0$ для многих полей $k$.
Если предположить что $k=\bar F_p(Y)$ и $\bar F_p(X)$, где $\dim Y\ge 2$, верна более сильная версия.
Теорема. Пусть $G^c(Y)$ — про-$l$-фактор группы $Gal(\bar k/k/([Gal\bar k/k),Gal\bar k/k)],Gal\bar k/k])$ и также $G^c(X)$, где $l\ne p$. Предположим, что отображение $\pi\colon G^c(X)\to G^c(Y)$ доставляемое сюръективным отображением $p\colon X\to Y$ имеет топологическое сечение $s\colon G^c(Y)\to G^c(X)$. Тогда существует чисто несепарабельное расширение $k':k$ такое, что над $k'$ имеется точка $x_s$ в $K=\bar F_p(X)$, соответствующая $s$.