Лекция 8: Представление булевых алгебр. Фильтры

Нашей основной целью будет доказательство «малой теоремы Стоуна» о представлении булевых алгебр: а) всякая конечная булева алгебра изоморфна алгебре всех подмножеств некоторого множества; б) всякая булева алгебра вкладывается в алгебру всех подмножеств некоторого множества. Для этого мы сначала покажем, что всякая нетривиальная (под)прямо неразложимая булева алгебра изоморфна двухэлементной булевой алгебре, а затем воспользуемся полученными ранее результатами о прямых и подпрямых разложениях. Мы также определим понятие атомарной булевой алгебры и увидим, что для таких алгебр «малую теорему Стоуна» можно доказать другим, значительно более простым способом. Далее, мы познакомимся с понятием фильтра (булевой алгебры) и убедимся, для каждой булевой алгебры существует естественная биекция между множеством всех её конгруэнций и множеством всех её фильтров. Более того, соответствующие множества с порядками по включению являются полными дистрибутивными решётками; при этом вышеупомянутые биекции превращаются в изоморфизмы.