Трёхмерные биллиарды внутри столов, ограниченных софокусными квадриками

В докладе будут рассмотрены два вида трёхмерных биллиардов, ограниченных софокусными квадриками: обычный биллиард (никакие силы не действуют на материальную точку) и биллиард с потенциалом Гука. Обе эти системы являются интегрируемыми гамильтоновыми системами в кусочно-гладком смысле.
В случае отсутствия внешних сил на множестве биллиардов, ограниченных софокусными квадриками, было введено отношение слабой эквивалентности и доказана теорема классификации. Получена классификация биллиардных «столов» относительно их комбинаторной эквивалентности (то есть как клеточных комплексов). Для каждого из обнаруженных «столов» найден класс гомеоморфности соответствующего неособого изоэнергетического пятимерного многообразия. Оказалось, что это либо 5-мерная сфера, либо прямое произведение окружности на 4-сферу, либо прямое произведение 2-сферы на 3-сферу. Кроме того, удалось описать особенности (атомы-бифуркации) трехмерных торов Лиувилля, возникающие в фазовом пространстве трёхмерных биллиардов.
Биллиард с потенциалом Гука будет рассмотрен внутри стола, ограниченного эллипсоидом и двумя участками двуполостного гиперболоида. Для этой системы построена бифуркационная диаграмма, описаны прообразы точек отображения момента. Как оказалось этот биллиард тесно связан с плоским биллиардом с потенциалом Гука внутри эллипса. Эта связь помогла описать топологию слоения Лиувилля вблизи особых точек.