Равномерные квазиклассические асимптотики типа Планшереля–Ротаха для совместных ортогональных многочленов Эрмита

Совместные ортогональные многочлены Эрмита $H_{n_1,n_2}(z,a)$ определяются парой рекуррентных соотношений для многочленов $H_{n_1+1,n_2}(z,a)$, $H_{n_1,n_2+1}(z,a)$, $H_{n_1,n_2-1}(z,a)$, $H_{n_1,n_2-1}(z,a)$, $H_{n_1,n_2}(z,a)$. Мы получаем равномерную асимптотику диагональных многочленов $H_{n, n}(z, a)$ в виде функции Эйри для $n\gg1$, которая является далеко идущим обобщением асимптотических формул Планшереля–Ротаха для стандартных многочленов Эрмита. Мы обсуждаем один из возможных подходов, который мы называем “вещественнозначная квазиклассика для асимптотики с комплекснозначными фазами” (другой подход, основанный на построении разложений базисов разностных уравнений, был недавно разработан А.И.Аптекаревым и Д.Н.Туляковым). Этот подход может быть применен для построения асимптотических формул для различных ортогональных многочленов. Вводя искусственный малый параметр $h=O(1/n)$ и непрерывную функцию $v(x,z,a)$, такую, что $H(z,a)=v(kh,z,a)$, мы сводим исходные соотношения к псевдодифференциальному уравнению для $v$, где $x$ — переменная, а $(z,a)$ — параметры. Представляя его решение в виде ВКБ-решений, получаем уравнения Гамильтона–Якоби с комплексными гамильтонианами, порожденными алгебраической кривой третьего порядка. Это обстоятельство является основной трудностью решения задачи и, как правило, приводит к переходу от вещественной переменной $x$ к комплексной. В этой задаче мы предлагаем другой подход, основанный на сведении исходной задачи к трем уравнениям, два из которых имеют асимптотику с чисто мнимой фазой, а символ третьего является чисто вещественным и имеет вид $\cos p+V_0(x)+h\,V_1 (x)+O(h^2)$. Это в конечном счете позволяет нам представлять желаемую асимптотику равномерно через функцию Эйри.
Совместная работа с А.И.Аптекаревым, Д.Н.Туляковым и А.В.Цветковой