On completely noninvariant Killing tensors in three-dimensional Euclidean space

Иногда для интегрируемости по Лиувиллю векторного поля X достаточно найти два квадратичных интеграла движения, например в случае линейного векторного поля (Козлов) и в случае гамильтонового поля типа Штеккеля (Эйзенхарт, Бененти, Олевский). В обоих случаях недостающие n-2 независимых интегралов движения в инволюции полностью определяются двумя исходными интегралами движения и являются квадратичными полиномами по импульсам.
Мы рассмотрим простейший случай трехмерного Евклидова пространства и покажем как два квадратичных интеграла движения определяют третий интеграл движения, который является полиномом четвертой степени по импульсам. Третий интеграл строится достаточно просто если соответствующий тензор Киллинга

• инвариантен относительно действия изометрии (теорема Нётер),
• кручение Хаантьеса равно нулю (теорема Ейзенхарта).

Поэтому, мы будем рассматривать полностью не инвариантные тензора Киллинга с ненулевым кручением Хаантьеса, т.е. вне стандартной геометрии Нийенхеса-Хаантьеса.