$C^\infty$-функции от некоммутирующих переменных

Математическая общественность давно пришла к единому взгляду на то, что называть полиномиальными и непрерывными функциями от конечного числа некоммутирующих переменных. В ближайшее время та же судьба ждет и голоморфные функции. Однако бесконечно дифференцируемые функции от некоммутирующих переменных до сих пор ускользали из рук исследователей. Мы обсудим класс алгебр, элементы которых достойны именоваться «некоммутативными функциями класса $C^\infty$»: конечно-порожденные свободные объекты (и их факторы) в категории локально $OD^*_\infty$ -алгебр. Определение последних основывается на дифференциальном условии Киссина-Шульмана для преднорм в рамках теории операторных пространств (в «почти-коммутативных» случаях можно обойтись без операторных пространств: $D^*_\infty$ -алгебры). Благодаря $C^\infty$-функциональному исчислению для коммутирующих самосопряженных элементов (обсуждалось на предыдущем докладе 24.04.2015) алгебра $C^\infty$-функций на гладком многообразии включается в этот класс.
Несмотря на то, что ряд естественных вопросов пока не имеет ответов, такой подход представляется перспективным. Например, он позволяет не только сформулировать, но и обосновать условие, выделяющее среди компактных квантовых групп класс, аналогичный компактным группам Ли. Более того, уже несомненно, что мы приближаемся к естественной аксиоматике для алгебр, используемых в некоммутативной спектральной геометрии по А.Конну. Уже можно строить правдоподобные гипотезы о том, какого сорта алгебры могли бы быть объектом изучения некоммутативной дифференциальной геометрии в целом – теории, не так давно преодолевшей тридцатилетний рубеж своего развития.