О спектральном разложении при ограничении на подгруппу

Рассмотрим унитарное представление $\rho$ классической группы $G$ в гильбертовом пространстве $V$. Пусть $H$ — подгруппа в $G$. Пусть нам известно явное разложение для ограничения $\rho$ на $H$. Тогда операторы алгебры Ли $\mathfrak g$ в этом спектральном разложении пишутся явно и являются дифференциально-разностными операторами. Причём операторы сдвига действуют в мнимом направлении по отношению к контуру интегрирования (вроде сдвига на $i$ в $L^2(\mathbb R)$). Дифференциальные операторы, вообще говоря, имеют высокий порядок.
Для ограничений конечномерных представлений дело должно обстоять точно так же, только разностные операторы должны становиться разностными операторами на решётке.
Все известные утверждения такого рода доказываются неожиданно сложными (иногда запредельно сложными) формальными вычислениями. Один из вопросов — понять, какой смысл в этих вычислениях.