Зацепления по модулю узлов: 1. Коэффициент зацепления и тройной $\bar\mu$-инвариант

Это первая лекция мини-курса "Зацепления по модулю узлов".

Аннотация мини-курса. В классической теории узлов зацепления часто понимаются как “многокомпонентные узлы” и играют скорее вспомогательную или второстепенную роль по отношению к настоящим узлам. Но в последние 65 лет активно развивается и другая наука, в которой интересным считается лишь взаимодействие разных компонент зацепления, а локальное заузливание отдельных компонент игнорируется. Эта идея “зацеплений по модулю узлов” формализуется несколькими разными отношениями эквивалентности на зацеплениях: PL-изотопией (при которой могут вставляться и удаляться локальные узелки на каждой компоненте), зацепляющей гомотопией (при которой компоненты могут самопересекаться, но разные компоненты не пересекаются), топологической изотопией (т.е. гомотопией в классе топологических вложений) и некоторыми другими. Такой взгляд на вещи приводит к математике, заметно отличающейся по духу от обычной теории узлов. В чём-то она проще: многое удаётся сделать, используя лишь классическую алгебраическую топологию (гомологии, фундаментальную группу, гомотопические группы сфер и т.п.), чего не скажешь об обычной теории узлов. В чём-то наоборот сложнее: ту же роль, которую в классической теории узлов играют “многокомпонентные узлы”, здесь берут на себя зацепления, окрашенные в $n$ цветов (при этом “многокомпонентные узлы” соответствуют случаю $n=1$), поэтому вместо одной переменной приходится иметь дело с $n$ переменными, и хорошо ещё, если они коммутируют. В мини-курсе будут разобраны классические и современные конструкции и результаты.

Дисклеймер: в силу статьи 28 Конституции РФ факт чтения данного курса не означает ни автоматического согласия лектора со всеми действиями российского государства, ни того, что лектор автоматически признаёт честными все федеральные выборы в России.

Ориентировочная программа мини-курса — в прикреплённом файле.

Мини-курс состоит из двух частей:

$\bullet$ “Зацепления по модулю узлов. Инварианты” (лекции 1-5 мини-курса, читаются в Москве на Семинаре по геометрической топологии)

$\bullet$ “Зацепления по модулю узлов. Приложения инвариантов” (лекции 6-10 мини-курса, не являются частью Семинара по геометрической топологии, читаются в Петербурге на школе “Маломерная топология”, которая проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России, соглашение № 075-15-2019-1619). Видео и слайды петербургской части доступны на странице школы, видео выложены на youtube-канале Института Эйлера, ПОМИ и Лаборатории Чебышёва.